Une petite étude graphique de la fonction Syracuse en LOGO:

Au début des années 1930, un mathématicien de l'université de Hambourg, Lothar Collatz, proposa de faire des suites de nombres de la manière suivante que l'on appelle " algorithme de Collatz " :
En réalité, quand Collatz a proposé cet algorithme, il a émit la conjecture suivante :

On finit toujours par obtenir 1 dans la suite obtenue avec l'algorithme de Collatz avec n'importe quel nombre au départ...
Cette conjecture est appelée conjecture de Syracuse ou problème de Syracuse depuis que Helmut Hasse, un ami de Collatz, la présenta à l'université de Syracuse (près de New York) dans les années 50.

Algorithme en pseudo-code: 

1) Choisir n, un nombre entier supérieur strict à 0 .
2) Si n pair => n+1 entier (n / 2)
3) Si n impair => n+1 (n * 3) + 1  
    ... et on recommence la procédure avec n+1.
 
Les graphiques suivants sont structurés en trois parties:
 
  - Tout en bas (en bleu outremer), la fonction Syracuse.
  - En remontant, les variations (Delta) de la fonction.
  - Tout au dessus, le nombre d'entiers pairs (en noir) et impairs (en violet) rencontrés
    par la fonction Syracuse jusqu'à l'arrivée (1). Comme on le voit, les tracés sont
    symétriques: il y a autant d'entiers pairs et impairs rencontrés pour chaque entier
    de départ.

  Les graphiques:

                    Sur l'intervalle [ 100 510 ]:     

             

                         Sur l'intervalle [500 1000 ]:

               

                          Sur l'intervalle [ 10000 10500 ] 

             

                         Sur l'intervalle [ 20000 20500 ]:

                      

Pour télécharger les textes LOGO qui tracent les graphiques de la fonction
Syracuse, cliquer ici .     
 
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Voir également une autre suite numérique qui se termine par 1: le jeu de Nim .

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                   LOGO au collège

         1) Analyse vectorielle en LOGO:

             

             ( Le champ vectoriel est bien sûr construit à partir de la fonction dérivée.)

              Champ vectoriel

   Pour télécharger les textes LOGOPLUS qui tracent le champ vectoriel, cliquer ici .

2) Calcul de la racine carrée d'un nombre par la méthode de Heron d'Alexandrie:

Taper un nombre dans la ligne des consignes:
> 3
 
:a= 2 :b= 1,5
:a= 1,75 :b= 1,71428571428571
:a= 1,73214285714286 :b= 1,7319587628866
:a= 1,73205081001473 :b= 1,73205080512302
:a= 1,73205080756888 :b= 1,73205080756887
:a= 1,73205080756888 :b= 1,73205080756887
:a= 1,73205080756888 :b= 1,73205080756887
:a= 1,73205080756888 :b= 1,73205080756887
:a= 1,73205080756888 :b= 1,73205080756887
:a= 1,73205080756888 :b= 1,73205080756887
valeur moyenne : 1,73205080756888

Pour télécharger les textes LOGOPLUS qui calculent la racine carrée d'un nombre, cliquer ici .

3) Calcul de la tangente d'un nombre compris entre 0 et 90° par l'algorithme CORDIC:

Taper un nombre dans la ligne des consignes:
> 24
 
tan 24 = 0,445228685308532
k= 0,980198019799531

Pour télécharger les textes LOGOPLUS qui calculent la tangente d'un nombre, cliquer ici .

                                                                                                         

3) Calcul de l'intersection de deux segments dans le plan Euclidien:

                 

 

Pour télécharger les textes LOGOPLUS qui calculent l'intersection de deux segments, cliquer ici .

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